Как найти длину вектора по его координатам

Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца. Таким образом, если на плоскости заданы точки и , то вектор имеет координаты и его длина вычисляется по формуле , а формула для нахождения длины вектора по координатам точек и трехмерного пространства имеет вид.

По определению вектор — это направленный отрезок, а длина этого отрезка в заданном масштабе является длиной вектора. Таким образом, задача нахождения длины вектора на плоскости и в пространстве сводится к нахождению длины соответствующего отрезка.

Пусть известны длины двух векторов , и угол между ними или косинус угла , а требуется найти длину вектора или. В этом случае можно по теореме косинусов в треугольнике АВС вычислить длину стороны ВС , которая равна искомой длине вектора. Длины векторов и равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен. Из условия нам известны длины сторон АВ и АС этого треугольника они равны длинам соответствующих векторов , а также угол между ними, поэтому нам достаточно данных для применения теоремы косинусов: Итак, для нахождения длины вектора по координатам используем формулы или , по координатам точек начала и конца вектора - или , в некоторых случаях к результату приводит теорема косинусов.

Когда вектор является стороной треугольника, то его длина может быть найдена по теореме косинусов , если известны длины двух других сторон и угол между ними. Длину вектора будем обозначать. Аналогичное обозначение имеет модуль числа , и длину вектора часто называют модулем вектора.

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид. Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат. Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам: Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве. Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и. Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

Для решения этой задачи в нашем распоряжении все средства геометрии, хотя в большинстве случаев достаточно теоремы Пифагора. С ее помощью можно получить формулу для вычисления длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат, а также формулу нахождения длины вектора по координатам точек его начала и конца.

Длина вектора по координатам точек начала и конца может быть найдена как. Приравняв полученное значение длины вектора к , вычислим искомые: Большинство задач на нахождение длины вектора решаются в координатах. Однако, когда координаты вектора не известны приходится искать другие пути решения.

Вычислите длину вектора , где - орты прямоугольной системы координат. Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно,. Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем. В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты. Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и. Отложим от начала координат от точки О вектор. Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА. В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда. Из определения координат вектора в прямоугольной системе координат мы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно,.

Найдите длину вектора , если в прямоугольной декартовой системе координат. Можно сразу применить формулу для нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости: Вторым вариантом решения является определение координат вектора через координаты точек и применение формулы: Определите, при каких значениях длина вектора равна , если.

В этом случае так как ОА — диагональ прямоугольного параллелепипеда , откуда. Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно,. Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат , то есть, находится по формуле.

Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Векторы, действия с векторами Нахождение длины вектора, примеры и решения. Нахождение длины вектора по координатам. Длина вектора через координаты точек его начала и конца. Нахождение длины вектора по теореме косинусов. Длина вектора по координатам точек начала и конца может быть найдена как Приравняв полученное значение длины вектора к , вычислим искомые: Учебник для классов средней школы.