Как найти область определения функции примеры решений

Очевидно, что областью определения каждой функции суммы является множество всех действительных чисел, следовательно, область определения исходной функции - это тоже множество R.

То есть, в принятых нами обозначениях область определения функции f состоит из всех таких x , для которых. Этот же результат можно вывести из уже изученных правил. Покажем, как это сделать. Функцию перепишем в виде. Имеем произведение двух функций: Данная дробная функция представляет собой отношение двух функций: Тогда область определения функции f находится как.

Это удобно и достаточно естественно перекликается со смыслом систем. Функция f представлена суммой четырех функций: Область определения функции f — это пересечение областей определения функций f 1 , f 2 , f 3 и f 4. Достаточно очевидно, что это есть множество всех действительных чисел, за исключением чисел. Переходим к нахождению области определения произведения функций.

Найдем область определения функции с корнем. Решив полученное квадратное неравенство , записываем ответ: Но дальше начинают встречаться функции все более и более сложных видов, особенно в сборниках задач по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ, и возникает потребность в строгих правилах, позволяющих находить области определения всевозможных функций.

Если нет, то рекомендуем вернуться к информации указанной статьи, так как ниже мы будем постоянно опираться на нее, объясняя, как найти область определения функции. В этой статье мы будем учиться находить области определения функций одной переменной, которые представляют собой всевозможные комбинации основных элементарных функций: Здесь мы рассмотрим теорию и покажем ее применение на практике при решении характерных задач.

Будем исходить из того, что Вы знаете, что такое область определения функции и что Вам известны области определения основных элементарных функций постоянной, корня, степенной функции и т.

Какова область определения функции? Исходную функцию обозначим ее f можно рассматривать как разность двух функций f 1 и f 2 , где и. Как же найти область определения сложной функции f? Изучив соответствующий пункт в учебнике [2, c. То есть, в принятых нами обозначениях это по сути система неравенств. Давайте рассмотрим решения нескольких примеров. В процессе мы не будем подробно описывать решение систем неравенств , так как это выходит за рамки этой статьи.

Алгебра и начала анализа:

Тогда возникает логичный вопрос, откуда взяться задаче с формулировкой найти область определения функции, если область определения должна быть указана вместе с самой функцией? А дело здесь вот в чем. В этом случае подразумевают, что областью определения функции является множество всех таких значений аргумента, при котором выражение f x смысл то есть, ОДЗ переменной x выражения f x. Так вот встает задача нахождение этого множества значений аргумента, которая по сути и составляет задачу поиска области определения функции.

Разберем еще один пример. Пусть функция задана формулой , и нам требуется найти ее область определения. Известно, что на нуль делить нельзя, поэтому выражение имеет смысл при любых значениях x , кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль. И еще один характерный пример.

Понятно, что такая функция имеет смысл для всех таких значений переменной, при которой имеют смысл все функции, составляющие сумму. Поэтому не вызывает сомнений справедливость следующего утверждения:.

Разобранные выше правила позволяют справиться с этой задачей. Главное действовать последовательно и аккуратно. Давайте соберем изученные правила нахождения областей определения в таблицу, так все они будут перед глазами, так их будет проще запомнить и удобно использовать. В заключении отметим, что часто возникает желание выполнить преобразование выражения, которое находится в правой части формулы, задающей функцию.

Известно, что когда задается какая-либо функция, то сразу указывается ее область определения. Другими словами, нельзя говорить о функции без ее области определения.

Легко показать, что область определения этой функции и область определения функции f совпадают. Областью определения постоянной функции является множество всех действительных чисел, а область определения функции f есть D f. Найдем область определения функции f 2. Озвучим и обоснуем еще одно очень важное утверждение: Рассмотрим функцию , правая часть которой есть многочлен с одной переменной в стандартном виде степени n с действительными коэффициентами.

Но тут всплывает неприятный сюрприз: Для удобства изучения дальнейшего материала расположите перед собой таблицу областей определения функций. Для начала научимся находить область определения суммы функций.

Так мы нашли нужную нам область определения функции, ей является множество всех действительных чисел, кроме нуля. Посмотрим, что нам известно: Таким образом, искомая область определения функции есть полуинтервал 0, 1].

Для этого случая имеет место аналогичное правило:. Оно и понятно, в указанной области определены все функции произведения, а значит и сама функция f.

Область определения функции f в этом случае находится как. Найти область определения функции. В разобранных выше примерах мы специально брали функции, составленные только из основных элементарных функций, чтобы лучше донести принцип нахождения области определения. Рассмотрим дробную функцию, заданную формулой. Понятно, что дробь имеет смысл на множестве, на котором определена и функция f 1 , и функция f 2 , и более того, f 2 x не обращается в нуль.

Кстати, на этой области определения от показательно-степенной функции можно перейти к сложной функции следующего вида: Найти ее область определения. Найдем область определения функции f 2 по соответствующему правилу: Осталось найти область определения исходной показательно-степенной функции из условий: Понятно, что в общем случае нам может потребоваться найти область определения функции, которую составляют как суммы, разности, произведения функций, так и дробные, сложные и другие функции.

А теперь найдем область определения дробной функции по уже известному нам правилу. Так как областью определения логарифмической функции с основанием a является множество действительных положительных чисел, то области определения сложных функций и определяются из систем и соответственно. Тогда область определения дробной функции , а значит и функции , находится из системы.

Таким образом, искомая область определения функции - это множество. Под показательно-степенной функцией понимается функция, заданная формулой. Область определения показательно-степенной функции состоит из всех таких x , для которых.

Их нужно проводить очень аккуратно. Этим мы хотим сказать, что допустимы лишь тождественные преобразования, не влияющие на область определения исходной функции. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Функции, исследование функций Как найти область определения функции? Что значит найти область определения функции? Что указывает на возможное ограничение области определения? Правила нахождения области определения Суммы, разности и произведения функций Сложной функции Дроби Логарифмической функции с переменной в основании Показательно-степенной функции В общем случае Таблицы основных результатов.

Теперь мы можем найти область определения функции f 1: Осталось найти нужную нам область определения функции: Определение логарифма дается для положительных оснований не равных единице и для положительного числа под знаком логарифма. Из этого понятно, какие условия задают область определения функции , они таковы: К этому же заключению можно прийти, если функцию, содержащую аргумент под знаком логарифма и в основании логарифма, переписать в виде.

Давайте условимся и дальше использовать записи, подобные последней, под которыми будем понимать пересечение числовых множеств , записанных внутри фигурной скобки, либо одновременное выполнение каких-либо условий.

В школе обычно изучаются функции действительной переменной. По виду формулы, задающей функцию, можно определить, что область определения функции отлична от множества R. Давайте рассмотрим, что указывает на возможное наличие ограничений области определения:. Для примера возьмем функцию f , заданную формулой. Первые задачи на нахождение области определения функции начинают проскакивать на уроках алгебры в классе. Они довольно простые и решаются, исходя из очевидных соображений.

Тогда Так мы нашли нужную нам область определения функции, ей является множество всех действительных чисел, кроме нуля. Алгебра и начала математического анализа.